При г = Го разность этих двух выражений должна быть равна 47г, умноженному на выражение для плотности (13). Отсюда получаем соотношение:

-2 2 cosmp + hn sinmp) = 2 (a cosmp + &n sinmp).

Приравнивая коэффициенты при cos пер и sinmp, получим:

апго , ЬпГр gn - , Пп - .

Если подставим эти значения в выражение дф, то для потенциала ф будем иметь:

1° во внешней точке:

ф = фо + дф = фо-{апСОпер + Ьптпер)(у ; (18)

2° во внутренней точке:

ф = фо- {an cos пер+ bnsmn(p)( . (19)

(мы восстановили множитель (, отброшенный ранее).

При г = Го две формулы совпадают и имеют вид (предполагая вновь С = !)

ф = ф - {an cos rnp + bn sin mp).

Теперь необходимо проверить уравнение (11).

Действительно, при г = го имеем следующие равенства:

= 0 ( п sin пер - Ьп cos пер), = {а-п sin пер - Ьп cos пер),

ть аер

= го (-ncin sinrup + n&n cosn(),

где 4 - бесконечно малая первого порядка. Поскольку бесконечно ма-

лыми второго порядка можно пренебречь, нам достаточно учитывать

конечные величины в коэффициенте при в (11).

При такой степени аппроксимации этот коэффициент сводится к следующему:

1 #0 0 Го dro

Произведем в уравнении (11) замену, что приведет к следующему равенству:

= - У( п sin пер - Ъп cos тир) - У(-па sin тир + пЪп cos тир) = ох

doji , dbji .

cosn( +sinn(.

Приравнивая коэффициенты при соответствующих гармониках, получим

= (1 - п)6 , = -(1 - n)a .

(20)

Эти уравнения имеют решение:

ап = А sin(l - n)t + Б, Ъп = А cos(l - n)f + В. (21)

Из выражений (21) видно, что если Оп и Ьп малы в момент времени f = О, то они всегда будут оставаться очень малыми. Таким образом, движение является устойчивым.

136. Частные деформации. Пусть деформация такова, что все коэффициенты, кроме двух, и равны нулю. Деформированная кривая будет выражаться уравнением:

S = Го + ttn cos тир + Ъп sin тир.

(22)

Следовательно, радиус-вектор имеет п максимумов и п минимумов, а кривая - ряд впадин и вы- р, 33 пуклостей (рис. 38).

При изменении во времени кривая сохраняет ту же форму, вращаясь вокруг оси Oz со скоростью (1 - п)С.

Если кривая была бы более сложной, то есть если бы имелось более чем два коэффициента, отличных от нуля, то можно было бы разложить ее на простые кривые, каждая из которых соответствовала бы одному значению п и вращалась бы вокруг Oz со своей скоростью.

137. Пусть п = 1, тогда:

S = Го + tti cos + bi sin (f.

Это уравнение с точностью до бесконечно малых второго порядка представляет окружность, центр которой определяется координатами ai и &i. В этом случае 1 - п равно нулю:

- п - п dt dt

Центр круга (ai, bi) неподвижен. Пусть п = 2. Тогда

S = Го + 2 cos 2(р + &2 sin 2(. С точностью до бесконечно малых второго порядка это уравнение представляет собой уравнение эллипса с центром в начале координат с очень малым эксцентриситетом. С другой стороны, 1 - п = 1. Следовательно,

a2 = Asmt-\-B, b2 = Acost-\-В, т. е. эллипс будет равномерно вращаться.

138. Эта теорема справедлива в случае произвольного эллипса. Действительно, пусть ( - предположительно постоянное значение вихря внутри эллипса.

Введем декартову систему координат с осями, определяемыми главными осями эллипса в некоторый момент времени. Составляющие скорости выражаются в виде:

djp d

dy dx

Они также представляют собой составляющие притяжения, производимого притягивающей материей, наполняющей цилиндр и имеющей

постоянную плотность Итак, эллиптический цилиндр можно рас-сматривать как эллипсоид с бесконечной осью. Для однородного эллипсоида

ах + Ьу + cz = 1.

Составляющие его притяжения на внутренних точках имеют вид:

Ах, By, Cz,

где А, В, С - константы.