линейном приближении. - Прим. ред.

Итак, находим четыре линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами, для определения четырех неизвестных функций а, а, Ь. Общие решения этих уравнений сводятся к сумме экспонент вида е *.

Если а является вещественной и положительной, то это решение бесконечно увеличивается во времени, а движение неустойчиво, поскольку деформация будет возрастать.

Если экспоненты имеют вид е *, а а является вещественной и положительной, то деформация будет стремиться к нулю. Можно было бы считать, что движение устойчиво. Однако ничего подобного. Характеристическое уравнение имеет равные по значению, но противоположные по знаку корни. Нельзя иметь экспоненты е~ *, не имея одновременно е+ *.

Следовательно, неустойчивость будет возникать каждый раз, когда характеристическое уравнение будет иметь вещественный корень.

Если корни являются сложными и имеют вид а + \ ?, то в решении появятся члены

и будет существовать по крайней мере еще одна экспонента, модуль которой бесконечно увеличивается. Движение вновь будет неустойчивым.

Таким образом, для устойчивости необходимо и достаточно выполнение условия, что все корни характеристического уравнения будут иметь вид:

где а - вещественное число. Тогда решение будет равно сумме членов, таких что

Vat Qg л/ sin at

остаются конечными.

Теперь найдем условия, для которых это было бы заведомо выполнено.

Положим, для краткости:

= ab + (3b, = jb + 6b, at at

db n I db e /

(24)

Положим также

Ха + Xa = X, Xb-\- Xb = y,

где Л и Л - два числа, которые пока не определены.

Умножим два первых уравнения (24) на Л и Л и сложим их. Получим следующее выражение

= b{Xa + Xj) + b{X/3 + X5).

Теперь выберем Л и Л таким образом, чтобы второй член имел вид Sy.

Величины Л и Л определятся уравнениями:

Ха + Л7 = SX, Х(3 + Хд = SX.

Если Л и Л удовлетворяют этим условиям, то справедливо следующее равенство:

Произведя те же действия с двумя последними уравнениями системы (24), найдем

Значение S получим из условия, что определитель однородных уравнений для Л и Л равен нулю.

Тогда S будет корнем уравнения:

a-S 7 /3 5-S

= 0. (25)

Это уравнение второй степени. Пусть S и Si - корни. При этом Л, Л, X, у - значения, соответствующие 5, а Ai, Л, xi, yi - значения, соответствующие Si. Получим

Xia-\-Ха= XI, Xib + Xb = у1, = Siyi, =-SiXi.

Уравнения (23) принимают вид:

sin St = е*(cos st + V-l sin st).

Модуль бесконечно увеличивается по времени а движение является неустойчивым.

Необходимым и достаточным условием для устойчивого движения является вещественность корней S.

Уравнение для S может быть записано в виде:

- S{a + S) + aS-j = 0. Корни будут вещественными, если справедливы неравенства {а + (5)2 - Цаб - /?7) > О

{а + (5)2 + 4/?7 > 0.

Замена а, /3, 7, д их значениями приводит к следующему неравенству

[С - п(С + С) - с + nice + С)? + ЧСе > 0.

Это неравенство должно удовлетворяться при всех целых значениях п.

Заметим, что если вихри С С одного знака, то это неравенство всегда выполняется. В этом случае движение всегда устойчиво.

141. Мы не будем делать полного исследования приведенного неравенства. Рассмотрим лишь частный случай, когда

Се + С = 0.

Это условие означает то, что скорость (С + С) точке, находящейся вне цилиндра С , равна нулю до деформации. Выберем единицы

Таким образом, общее решение наших уравнений будет иметь вид:

X = Asm{St-\- В), у = Acos{St-\- В), XI = Ai sin{Sit + В), yi = Ai cos{Sit + В).

Если S - вещественно, то синус и косинус остаются конечными и имеет место устойчивость.

Если S является мнимым, то S = s -\- /и и