таким образом, что С = 1- Тогда = -е. Движение будет устойчивым, если доказанное неравенство удовлетворяется при всех значениях п. Записывая, что оно выполняется при п = 2, получим необходимое условие устойчивости:

[1-2(1-г2)+г2]2-4г >0

(1-г)(1-4г) >0.

Первый множитель всегда положителен. Поэтому необходимо, чтобы

1 - 42 > О, или, поскольку S положительно.

Следовательно, если радиус внутреннего цилиндра С больше, чем половина радиуса внешнего цилиндра С , то устойчивость невозможна.

142. Объяснение эксперимента. Представим, что в жидкости существуют два течения противоположных направлений или только различных скоростей. Две жидкие массы, имеющие разные скорости, будут тереться друг о друга и на поверхности раздела будут появляться мелкие вихри. Обычно, чтобы объяснить образование этих вихрей, говорят, что они вызваны трением двух жидких потоков. Это недостаточное объяснение. Действительно, пусть в начальный момент времени имеются две жидкие массы с разными скоростями, которые для большей простоты будем считать постоянными по величине и направлению. Это состояние не может оставаться постоянным во времени по причине трения, вызванного вязкостью жидкости. Однако вначале кажется, что должен возникать переходный слой, в котором скорость бы изменялась монотонно и в котором вихри были бы равномерно распределены. На самом же деле такая картина не наблюдается, а образуются мелкие вихри, которые, далее, собираются в отдельные вихревые трубки. Это происходит в результате того, что при указанных условиях состояние, при котором вихри равномерно распределены, неустойчиво, что можно доказать, опираясь на предыдущие рассуждения.

Действительно, сообщим всей жидкости, содержащейся внутри цилиндра С, скорость равномерного вращения (С + О- Внешняя жидкость

остается в состоянии покоя. Скорость будет разрывной на поверхности цилиндра, следовательно, трение будет порождать переходную (пограничную) область перехода, ограниченную двумя концентрическими к С цилиндрами.

Таким образом, в рассматриваемом нами случае будем иметь два концентрических цилиндра. Внутри первого значение вихря равно С + С. Вне второго вихрь равен нулю. Наконец, в кольцевой области, он монотонно изменяется. Однако для простоты будем предполагать, что в кольцевой области этот вихрь имеет постоянное значение, промежуточное между О и С + С- Пусть этим значением является величина Положим

С + С = а.

Среднее постоянное значение как и в предыдущем примере, определим из условия

Се + С = 0.

Это выражение означает, что жидкость снаружи находится в состоянии покоя.

Отсюда получаем следующее отношение:

Поскольку область перехода в начальный момент времени очень незначительна, то е очень близко к единице, а очень велико. Однако при значении s большем, чем , эти условия приводят к неустойчивости, как установлено в п. 141.

Предположим, что внешняя жидкость не покоится, а обладает некоторой скоростью Ь. Тогда

Се + С = Ь

и снова возникает трение, поскольку скорость разрывна. Внося значения С и С в найденное нами условие, мы снова можем заключить, что имеет место неустойчивость.

Глава 9

Жидкость, обладающая свободной поверхностью

143. До сих пор мы изучали лишь движение бесконечных жидкостей или жидкостей, полностью заполняющих сосуд, в который они помещены. Теперь же рассмотрим случай, для которого жидкость не заполняет сосуд полностью, а имеет свободную поверхность при соприкосновении с другой жидкостью.

Представим, что частицы описывают окружности, центр которых находится на оси z и плоскость которых перпендикулярна этой оси. Если такое движение возможно, то оно обязательно будет стационарным (перманентным).

Если давление и плотность одинаковы по всей длине окружности, то уравнение непрерывности заведомо выполняется. В каждый момент времени система вращается вокруг оси Oz и скорость частицы М (рис. 40) направлена по касательной к окружности С и имеет одинаковую величину для всех точек этой окружности.

Возьмем на плоскости ZOM некоторый малый элемент поверхности: вращаясь вокруг Oz, этот элемент порождает также некоторую малую поверхность. Жидкость, ограниченная этой поверхностью, также вращается вокруг оси Oz, не изменяя объема.

Положим:

MP = г =

Согласно предположениям, давление р и плотность р являются функциями лишь от г и от Z. Следовательно, справедливы неравенства:

W = О, их -\- vy = 0.

Значение выражения

и -\-v

также будет являться функцией только от г и от z.