Функция ф существует при условии, что р является функцией лишь от р. Оно выполнено, если жидкость представляет собой однородную жидкость или газ, который подвергается изотермическому или адиабатическому изменению.

В лагранжевых обозначениях составляющие ускорения выражаются следующим образом:

/-,4

дх dt ду dt dz dt

(См. п. 4).

С другой стороны, ускорение частицы жидкости, двигающейся равномерно по окружности, сводится к нормальному ускорению:

и + г>2 2Т г - г

направленному по MP. Его составляющие равны:

Кроме того.

и, следовательно,

7г- т> 7z=-

Таким образом, необходимо, чтобы функция ф зависела только

от г, что справедливо также для г- и для Т. Скорость не зависит

от 2: и вихревые трубки являются круговыми цилиндрами с осью Oz.

144. Простые частные случаи. Рассмотрим сначала простые частные случаи.

1°. Скорость обратно пропорциональна расстоянию г. Тогда Т обратно пропорциональна г,

где а - постоянная.

Если сила тяжести является единственной внешней силой, которая действует на жидкость (при этом ось z вертикальна), то как нами было установлено (п. 4):

V = gz, ф = - [ + V.

Учитывая уравнения (2), получаем соотношение

и, интегрируя, приходим к следующему выражению:

ф= + С = Т + С.

Следовательно,

ф-Т = const. (3)

Мы снова получим уравнение Бернулли, что легко было предвидеть. Действительно, результаты пп. 24-25 применимы, когда существует функция скорости, в частности, если вихрь равен нулю или скорость изменяется в отношении i. Для вихревой трубки с осью Oz вихрь вне трубки равен нулю и условия теоремы также выполнены.

145. 2°. Скорость пропорциональна расстоянию, иначе говоря, жидкость вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью, т. е. двигается подобно твердому телу. Очевидно, имеются следующие соотношения:

гт 1 ф , 2

Т = аг , - = -2аг, ф = -аг + const. dr

Таким образом,

ф-\-Т = const, (4)

что и следовало ожидать.

Действительно, вспомним, что в п. 5 мы ввели интеграл

J = y udx-\-V dy-\-W dz,

взятым вдоль дуги кривой. Мы доказали, что справедливо равенство:

f = /(# + rfT),

где dф -\- dT - полный дифференциал, а производная равняется нулю, когда кривая интегрирования замкнута.

В рассматриваемом случае согласно уравнению (4):

ф -\-Т = const

f=

даже если кривая интегрирования не замкнута.

Рис. 41

Действительно, допустим, что жидкость равномерно вращается вокруг оси Oz. Кривая интегрирования также вращается вокруг оси Oz не деформируясь. Проведем из точки М (рис. 41) вектор MV, представляющий собой скорость. Если считать этот вектор силой, то интеграл J является работой, которую производила бы эта сила, когда точка пробегает по кривой интегрирования АВ. Если кривая, вращаясь вокруг Oz, принимает положение АВ, то вектор МУ сохраняет ту же величину и то же положение относительно АВ. Действительно, MV получается из MV при повороте вокруг оси Oz, переводящим точку М в точку М. Следовательно, когда точка М пробегает кривую АВ, то работа J силы MV является такой же, как работа силы MV, когда точка М пробегает кривую АВ.

146. Форма свободной поверхности. Предположим, что единственной внешней силой, которая действует на жидкость, является сила тяжести.

Примем за ось z вертикальную прямую, считая z направленной вверх. При этих условиях

V = -gz, = -gz- J . Если жидкость однородна, то

р = const

= -gz-.

Если речь идет о газе, температура которого постоянна, то плотность р пропорциональна давлению. Обозначая через /3 постоянную, получим следующее равенство:

Ф = -gz - 1пр.

Наконец, для газа, который подвергается адиабатическим преобразованиям,

р = I3pj,

где 7=7 - отношение удельной теплоты при постоянном объеме с

к удельной теплоте при постоянном давлении С. Таким образом, справедливо равенство:

Ф = -gz -

Ж1-7)