МОЖНО вывести, что

dr dr Ф1 - Ф2 = const.

Следовательно, давление является постоянным на поверхности раздела, и эта поверхность будет иметь ту же форму, что и свободная поверхность.

выражение:

На бесконечности ф равно нулю, а р = ро, следовательно, имеется равенство

которое влечет

Величины 1 - 7, -0 положительны, что приводит к неравенству

Р <Ро.

Это еще раз подтверждает, что внутри вихря существует область пониженного давления.

148. Случай нескольких несмешиваемых жидкостей. Форма поверхностей раздела. Предположим, что имеются только две жидкости. Пусть р1 и pi - плотность и давление первой жидкости, а р2 и р2 - плотность и давление второй жидкости, и пусть w ф2 - функции ф этих двух жидкостей:

фг = -gzi -

/ Р2

Ф2 = -gZ2 -

На поверхности раздела zi = Z2 давления должны быть равными pi = Р2- Однако о функциях ф1 и ф2 известно лишь то, что их

(/01 (1ф2 ТТ

производные и должны иметь одинаковое значение. Из условия

(1ф1 (1ф2

Глава 10

Влияние вязкости жидкостей

149. Гипотезы. Обозначения. Когда речь идет о вязкой жидкости, т.е. о жидкости, частицы которой при движении обладают трением друг относительно друга, соприкасаясь друг с другом, то силовой функции уже не существует. Действительно, сила трения зависит от скорости и теорема Гельмгольца, доказанная нами выше, больше не применима.

Пока мы не рассматривали этот случай и приступить к вычислению можно, лишь опираясь на некоторые более или менее вероятные гипотезы, являющиеся, однако, общепринятыми.

Прежде всего допускается, что сила, вызванная вязкостью, имеет следующие составляющие

КАщ KAv, KAw,

где К в системе лагранжевых переменных является постоянной.

Далее допускается, что на поверхности сосуда жидкость находится в состоянии покоя, иначе говоря, справедливо равенство:

и = V = W = .

Наконец, допускается, что на элемент dw этой поверхности действуют внешние силы, составляющие которых равны

Kfdw, Kdw, Kdw. dn dn dn

Предположим, что внешние силы, действующие на жидкость, допускают силовую функцию V. Если внести в уравнения Лагранжа силу

Имеется в виду обычное линейное вязкое трение. - Прим. ред.

Они носят название уравнений Навье - Стокса. - Прим. ред.

вязкости, то эти уравнения примут следующий вид

Pdz dt dz

Когда элемент объема dr жидкости подвергается смещению, проекции которого представлены отрезками dx, dy, dz, то работа, осуществляемая силами, допускающими функцию V, будет представлять собой

р dr dV,

и, добавляя сюда работу силы вязкости, получаем реальную работу

de = р dT[dV + К{Аи dx -\- Av dy-\- Aw dz)]. Будем также полагать

de = pdrdV,

dV = dV + K{Au dx + Avdy + Aw dz). (2)

Однако здесь необходимо отметить, что это обозначение dV имеет лишь чисто символический смысл, поскольку dV не является больше полным дифференциалом.

Далее запишем следующее выражение

# = dF- (3)

и подставим уравнения (1) в упрощенном виде, аналогичном тому, который мы рассмотрели в п. 4:

d±dM dj)dv dj)dw /.ч

дх dt ду dt dz dt