dJ dt

= J(dV-+dT+K J{Audx + Avdy + Awdz). (6)

Первый интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю по теореме Гельмгольца (6). Следовательно, остается

dJ dt

= К J( dx -\- Avdy-\- Aw dz). (7)

Проведем через контур интегрирования С некоторую поверхность. Кривая С ограничивает площадь А. Пусть I, т, п - направляющие косинусы нормали к элементу duj площади А. С помощью теоремы Стокса (8) мы нашли, что

J = 2 J{1-\-mrj-\- пС) du;.

где интеграл взят по всем элементам duj площади А, а, г], ( определены через соотношения (1) п. 9.

Отметим, как было сказано выше, что речь идет только о символах: (],ф

не является больше полным дифференциалом, а определяется соотноше-

дф дф дф . .

нием (3). 5 5 -7г- являются не производными одной и той же функ-ох оу OZ

ции ф{х, у, z), а представляют собой лишь коэффициенты dx, dy, dz в выражении для dф.

150. Теорема Гельмгольца (п. 5-6) выражается через соотношение

= 1(Ф + dT) = 0. (5)

Интеграл, взятый по замкнутой кривой, равен нулю, когда dф + -\-dT является полным дифференциалом, т. е. когда речь идет о невязкой жидкости.

Но если не пренебрегать вязкостью, то dф + dT больше не будет полным дифференциалом. Тогда, согласно соотношениям (2) и (3), получаем

Аи dx -\- Avdy -\- Aw dz =

dAv dAu} dx dy J

Отметим, что порядок дифференцирования можно изменить и записать

dAw dw dy ~ dy

dAv dv dz dz

и, вычитая одно их другого, получим

dAw dAv дdw dv\ dy dz \ dy dz J

Наконец, преобразовывая аналогично другие члены, придем к формуле =2К J{lA + тАт] + пАС) du;. (8)

151. Условия, необходимые для применимости теоремы Гельмгольца. Было доказано в п. 14, что, согласно теореме Гельмгольца, поверхности вихрей, а значит, и вихревые линии сохраняются при движении жидкости, если пренебречь силами вязкости и трения. Если же принять во внимание последние силы, то наш результат более не будет справедливым в общем случае. Теорема будет снова правильной только при особых условиях, которые мы сейчас и рассмотрим.

Теорема Гельмгольца (п. 6) следует из равенства

Вдоль кривой, проведенной на вихревой поверхности, интеграл

J = 0,

поскольку по всей длине этой кривой вихрь касателен к поверхности.

Преобразуем интеграл (7) с помощью той же теоремы:

-Вектор вихря (,?7,С) и вектор (А, А?7, А(). - Прим. ред.

Для того чтобы оставалось равным нулю при введении силы вязкости, необходимо, чтобы выполнялось условие:

/А + тАт] + пАС = О,

согласно уравнению (7).

Это соотношение показывает, что вектор (А, Ату, А() должен находиться в плоскости элемента duo. Если он является касательным к поверхности J = О за время dt, то мы также получаем J = 0. Поскольку = О, то вихревая поверхность не должна изменяться. Если мы

хотим, чтобы вихревые линии сохранились, то необходимо, чтобы некоторый элемент этих линий вектора (А, Ат], А() постоянно оставался касательным к вихревому вектору. Для этого необходимо, чтобы плоскость элемента duj содержала сразу два введенных вектора, и поскольку это должно иметь место для каждого элемента duj, проходящего через вихрь, то необходимо, чтобы эти два вектора совпадали по направлению, другими словами, чтобы выполнялось равенство

В общем случае это условие не выполнено и вихревые линии не сохраняются.

152. В частном случае, когда существует функция скоростей, а вихрь равен нулю, т.е. справедливо равенство:

и все А, Аг], А( тождественно равны нулю. Для некоторой кривой можно записать

J = О, = 0. dt

Следовательно, функция скорости будет существовать в любой момент времени.

Это следствие наших доказательств, кажется, противоречит предположениям, на которых они основываются.