отсюда получаем

= 2с, (10)

= -2К j ACdcj. (11)

Площадь сечения трубки du; является постоянной. Действительно, объем, ограниченный этой трубкой и двумя плоскостями z = zi и z = = Z2, постоянен, согласно уравнению непрерывности. Этот объем равен

{zi - Z2) du;,

где zi и Z2 остаются постоянными, так как скорость всегда параллельна плоскости ху. Следовательно, du; также постоянна.

Продифференцируем уравнение (9) по t, в результате получим

dJ dt

U2/§. . (12)

153. Частные случаи, где вихревые линии сохраняются.

Предположим, что в бесконечной жидкости вихревые линии являются прямыми, параллельными оси 2:, С и ту равны нулю так же, как и и Ату. Однако С и Af отличны от нуля. Условия (9) выполняются и вихревые линии сохраняются. При этом для того чтобы это доказать, воспользуемся симметрией.

Действительно, рассмотрим некоторую плоскость, параллельную плоскости ху. Эта плоскость является плоскостью симметрии, вне зависимости от трения. Если в начальный момент движения линии тока являются плоскими и расположены в плоскостях, параллельных плоскости ху, то они всегда остаются в этих плоскостях на основании симметрии, независимо от трения.

Однако при данных условиях С, не сохраняет больше своего значения, а не равняется нулю. at

Действительно, примем за контур интегрирования перпендикулярное сечение вихревой трубки. В соответствии с этим выбором необходимо учесть, что справедливы равенства

/ = ш = О, тт, = 1,

по t, отмечая при этом, что элемент duj постоянен. В результате получим

= J du; = K J ACdu;. (14)

Это обычное уравнение теплопроводности. - Прим. ред.

Сравним эти два выражения для Поскольку интегралы взяты на одной и той же площади, то необходимо, чтобы

f=KAC. (13)

При этом производная вычислена по лагранжевым переменным,

то есть при наблюдении за частицей при ее движении.

Это уравнение (13) аналогично тому, которое определяет распределение тепла через проводимость. Только в последней задаче частицы обычно рассматриваются как неподвижные. Здесь же, напротив, ( изменяется как температура жидкости, как если бы она имела то же самое движение и если бы К был коэффициентом проводимости. Однако при этих условиях происходила бы конвекция, приводящая к потере теплоты.

154. Обобщение основных теорем. Ранее мы доказали (п. 65 и далее, п. 113 и далее) несколько теорем, применимых к жидкостям, в которых отсутствует трение. Некоторые из них останутся справедливыми при наличии вязкости.

Действительно, пусть существует бесконечная жидкость, в которой вихревые трубки представляют собой цилиндры, параллельные оси Oz.

Мы видели (п.126), что если рассматривать ( как плотность притягивающей материи, распространенной на плоскости ху, то полная масса М = f (duj этой мнимой материи будет постоянной (т. к. интеграл взят по всем элементам duj плоскости ху).

Определенная таким образом масса также является постоянной, если в жидкости имеется трение.

Действительно, продифференцируем

М = J Cdu;

что приводит к

J АС du; = о (15)

М = const.

155. Центр тяжести этих двух мнимых масс неподвижен даже при наличии трения.

Действительно, координаты этого центра тяжести определены уравнениями

Мхо = J Cxduj, Муо = J Cyduj.

Продифференцируем первое уравнение по f и получим следующее уравнение

поскольку duj является постоянным. Первый интеграл равен нулю, так как существование трения влияет только на значение производных и и а не на значения самих этих функций. В результате имеем равенство

rdxo

Применим вновь теорему Грина, полагая

и = X, V = С-

Поскольку X является величиной первого порядка, то Ах = 0.

Я утверждаю, что этот интеграл равен нулю. Для того чтобы это доказать, применим формулу Грина

к окружности очень большого радиуса, предполагая, что функции uvi v или одна из них стремится к нулю на бесконечности. Интеграл в левой части равен нулю, поэтому

j uAvdu; = J vAuduj.

Теперь пусть