Д(ж2 + 2/2) = 4,

или, отмечая, что

.2 , ,.2\

получим

J {х + y)ACdw = 4:Jcdiv = 4:M

и, наконец,

1=4 . (17)

Производная постоянна и, следовательно, / изменяется пропорционально t. При этом мы вычислили, насколько быстро происходит это изменение.

Следовательно,

J xACdcj = J CAxdcj = 0. (16)

Отсюда = О, a является постоянным.

Используя то же самое доказательство, можно получить подобное заключение и для уо.

156. Момент инерции / мнимых масс относительно оси, параллельной Oz, является постоянным при отсутствии трения. Однако когда трение существует, тот же самый момент становится пропорциональным t.

Действительно,

1 = 1 ax+y)du;

= I 2ахи + yv) dcj + l {х + у) du;.

Первый интеграл равен нулю, как если бы не существовало трения, поскольку наличие трения не меняет значения и и v. Принимая во внимание уравнение (12), получим

Л dt

Теорема Грина при и = х -\- у, v = С приводит к следующим неравенствам

= j е h F(x + aVi) da,

где h является постоянной. Имеем также

+ 00

dZ / hpda.

dt J 2sft

- OO

Интегрируя no частям, получаем

2 +00 2

157. Применение к одному простому случаю. Предположим, что в начальном положении С, зависит только от расстояния г = = \/ до оси Z, На основании симметрии это условие будет выполнено всегда. Скорость в точке будет перпендикулярна радиус-вектору, опущенному из точки перпендикулярно оси Oz. Точка описывает окружность с центром на оси Oz в плоскости, перпендикулярной этой оси. В силу симметрии точка останется на этой окружности при наличии трения. Однако в этом последнем случае скорость уже не будет равномерной. Действительно, ( является функцией от г и f. Поэтому имеется соотношение

dt dt drdt

Но поскольку г - постоянная величина, то = О и легко получим

равенство

ИЛИ, согласно уже известной формуле, поскольку ( зависит только от г, выражение

<dr

Проинтегрируем это дифференциальное уравнение. Рассмотрим интеграл

+ 00

С другой стороны, справедливо равенство

+ СХЭ 2

а следовательно.

= J е h F da,

dZ hdZ dt 4 dx

Обобщим наши рассуждения и рассмотрим интеграл

Z = е h F{x + ал/т, у + aVT)da df3.

Если в некоторый момент рассматривать у w т как постоянные величины, то Z является функцией лишь от ж и от г и, согласно вышесказанному, имеется соотношение:

dZ hdZ dr 4 dx

Также, если хит считать постоянными, то аналогичное соотношение имеет вид:

dZ hdZ dr 4 dy

С другой стороны, несложно видеть, что

dZ dZdr dZdr dZ dZ dt dr dt dr dt dr dr

dZ h X ~dt - 4-

Поскольку проинтегрированный член равен нулю для двух пределов, то это выражение сводится к следующему:

+ 00