dt дх

дх дх

Действительно, если вычтем одно из другого, то получим: п ди dv\ , ди dw\

о = -2г]С + 2г]С = 0.

Соотношение (15) и два другие, получающиеся перестановкой, выражают теорему Гельмгольца, но исключительно для случая жидкостей.

19. Другие доказательства теоремы Гельмгольца. Доказательство Гельмгольца. Гельмгольц вывел свою теорему, применяя соотношение (15), полученное выше, и используя уравнения Эйлера.

В п. 4 записаны уравнения Лагранжа:

du dt

дф дх

и т.д..

которое содержит как лагранжевы, так и эйлеровы переменные. Для того чтобы оставить только последние, выполним преобразование:

du ди . ди .ди . ди в результате которого получим:

Это сооотношение тождественно следующему

dxo dx dxo dy dxo dz dxo

Продифференцируем уравнение (3) по у, уравнение (2) по 2: и вычтем одно из другого. Вспомнив предварительно определение , ту, ( (п. 9), получим

dt- ду dz дудх

(18)

dvdni dnidv dudv . dvdni , dw dw dy dy dy dz dzdx dz dy dz dz

С другой стороны,

d d d d d dt dt dx dy dz

и имеем уравнение непрерывности для жидкостей, которое можно записать в компактной форме:

du dv dw q dx dy dz

Учитывая эти соотношения, уравнению (4) можно придать форму

cdu , dv , dw dt dx dx dx

В этой форме несложно обнаружить уравнение (16). Наконец, необходимо отметить, что это доказательство теоремы Гельмгольца также применимо только к жидкостям.

20. Доказательство Кирхгофа. Кирхгоф берет за основу уравнения Лагранжа

dudi dvdi dwdi dt ~ dx dt ~ dy dt ~ dz

преобразованные таким образом, что исключена зависимость от лагранжевых переменных.

Воспользуемся соотношением

dф d dx djdy d dz

21. Впрочем, можно придать этим уравнениям более общую форму, заменяя xq, уо, zq тремя другими переменными а, с, определенные некоторыми соотношениями

хо = (ро{а, Ъ, с), 2/0 = 1{а, Ъ, с), z = р2{а, Ъ, с),

где а, Ъ, с не зависят от t. Производные по t будут одинаковыми в двух системах переменных.

Действуя таким же образом, как и ранее, получим

dt da dt da dt da da

a также два аналогичные уравнения, в которых а заменено на Ь, а затем на с.

В результате будем иметь систему:

dudxd dtda da

sff

srdudx dip dtdc - dc- >

Продифференцируем (1) по уравнение (2) по а и вычтем одно из другого

у/ du dx du dx\ q Kdtdbda dtdadbJ Это соотношение тождественно следующему

d Х/ dudx dudx\ q dtKdbda dadbJ ~

Умножим первое уравнение Лагранжа на второе - на тре-

dxQ dxo

тье - на что после суммирования приводит к соотношению

du dx dv dy dw dz # dt dxo dt dxo dt dxo dxo

и к двум другим аналогичным, полученным симметричным образом.