udx -\- V dy -\- W dz = const.

Действительно, рассмотрим точку М, координаты которой (ж, у, z) в системе Эйлера или (а, с) в системе Кирхгофа: ж, у, z изменяются во времени, в то время как а, с не зависят от а лишь от жо, 2/о? Лоточка М принадлежит некоторой кривой С. Выберем а, с так, чтобы для всех точек этой кривой с = 0. Если это условие выполняется в момент времени f = О, оно будет справедливо в любой момент времени.

Примем для некоторого момента времени а, b как декартовы координаты точки на плоскости. При этом каждой точке М из С будет соответствовать точка М плоскости и, когда М описывает кривую С, М описывает некоторую кривую С , которая будет замкнутой в том и только в том случае, если С замкнута. Кривая С неподвижна, в то время как кривая С изменяется при движении жидкости. Вычислим значение интеграла

j udx

вдоль кривой С:

J udx = J

uda + udb

причем второй интеграл берется вдоль кривой С . Преобразуем этот интеграл с помощью формулы Стокса (п. 8)

/( 1- 1 )= [£( 1)-( Э

эквивалентному также равенству

dMd dMd di const (20)

db da da db db da da db db da da db

Можно получить два других аналогичных уравнения, меняя местами один за другим а, с и изменяя значение произвольной постоянной.

21 Эти уравнения Кирхгофа эквивалентны уравнению, которое мы привели ранее, т.е.:

где двойной интеграл берется по всей площади А, ограниченной кривой С.

После дифференцирований в подынтегральном выражении получим

Воспользуемся тем же преобразованием для f v dy и f w dz и, сло-

жив полученные выражения, будем иметь

.=/...+.*+ ..=/j:(fl-lf(21)

Площадь А не меняется, так как кривая С фиксирована. Сумма помещенная под знак интеграла, постоянна по рассуждениям Кирхгофа, т.е. J = const.

Глава 2

Следствия из теоремы Гельмгольца

22. Случай установившихся движений. Движение является установившимся, если все функции, обозначеные нами как и, v, w, не зависят от а лишь от переменных Эйлера ж, у, z. Следовательно, в случае установившихся движений имеем

=0,...,=Оит. д.,

И, учитывая п. 1,

дф дф дф dt дх ду dz

Впрочем, эти соотношение могут быть применены к некоторой произвольной функции ф.

Учитывая это замечание, из основной теоремы Гельмгольца можно вывести несколько следствий.

23. Теорема. Если движение установившееся, то существует бесконечное множество поверхностей, на которых можно провести бесконечное число линий тока, а также бесконечное число вихревых линий.

Это означает следующее:

Через точку А (рис. 9) можно провести линию тока АС и вихревую линию AT. Если через различные точки на АС провести вихревые линии, то они образуют некоторую поверхность. Если также провести через различные точки на AT линии тока, то они образуют другую поверхность. Из теоремы следует, что эти две поверхности тождественны.

Рис. 9