Иначе говоря, если провести через точки А, А, А , А на кривой AT линии тока АС, АС, А С , А С , то вихревые линии, проведенные через некоторую точку В на АС, пересекутся с АС, АС, ... и т.д.

Это утверждение почти очевидно. Действительно, когда движение является установившимся, линии тока представляют собой траектории частиц жидкости. Таким образом, рассмотрим частицы, которые в начальный момент времени f = О находятся в А, А, А , А -, в момент времени t эти частицы находятся в В, В, В , В . Так как в силу теоремы Гельмгольца вихри остаются неизменными (т. е. состоят из одних и тех же частиц жидкости), то частицы В, В, В , В будут находиться на одной и той же вихревой линии.

24. Общее уравнение рассматриваемых поверхностей. В п.4

нами получена формула

Пусть также

Я утверждаю, что уравнение поверхности, которая была нами введена, можно записать в виде

ф - Т = const.

Для доказательства достаточно показать, что ф - Т постоянно с одной стороны на линиях тока, с другой стороны - на вихревых линиях.

1° Случай линий тока. Эти линии являются траекториями частиц жидкости. Следя за движущейся частицей и применяя обозначения Гельмгольца, в которых изменяется только t, получим

dT = udu + vdv + wdw= (и + + w) dt,

\ dt dt dt J

du дф

Таким образом.

dt дх *

= df или #-dT = 0, at dt

ф-Т = const. (1)

2° Результат для вихревых линий. Уравнения этих линий можно записать в виде

dx dy dz

dx = da, dy = Г] da, dz = С da. Я утверждаю, что

dф dT

da da

Действительно,

# дф дф дф da ~ дх ду dz

и после подстановки одного в другое получим

С другой стороны, аа аа аа аа

так как, по уравнениям Лагранжа из п. 4,

Но в п. 18 мы выяснили, что

Следовательно,

da da

ф - Т = const.

25. Теорема Бернулли. В случае, если вихрь в любой точке пространства равен нулю,

С = 77 = С = О,

то есть когда существует функция скоростей, любая линия может рассматриваться как вихревая, а ф -Т постоянно во всем пространстве.

26. Определение скоростей в функции вихрей. Определим составляющие скорости и, v, w из заданных компонент вихря , ту, (.

Если мы можем найти решение этой задачи (исходя из того, что вихри остаются неизменными), то после интегрирования по времени мы узнаем скорость, с которой эти вихри перемещаются и, следовательно, их направление и величину, бесконечно мало отличающуюся в момент времени t -\- dt от первоначальной величины.

Сначала заметим, что эта задача вообще является неопределенной, за исключением двух случаев: когда речь идет об однородной жидкости, занимающей бесконечное пространство или об однородной жидкости, полностью заполняющей сосуд, в котором она содержится.

27. Объемы односвязных и многосвязных областей. Прежде чем рассматривать предложенный вопрос, необходимо более точно определить, что мы называем односвязным и многосвязным объемом, поскольку к этим понятиям мы будем постоянно обращаться.

Односвязным объемом является объем, в котором нет отверстий: такими объемами могут быть сфера, эллипсоид или куб.

Любая замкнутая кривая, проведенная во внутренней части такого объема, может быть превращена в точку, деформируясь непрерывным образом и не покидая объем (рис. 10). При этом она заметает некоторую площадь А, которая исключительно ограничивается первоначальной кривой.