Эти формулы задают F, G, Н и, следовательно, и, v, w по известным , ту, ( (см. Электричество и оптика , I, стр. 144).

110. Выражение живой силы жидкости. Полная живая сила жидкости выражается следующей формулой

и +w)dT, (3)

при этом плотность жидкости полагается равной единице. В электродинамической аналогии, если среда, в которой находятся токи, не является магнитной (/i = 1), то электрокинетическая энергия будет следующей

Эта энергия может быть выражена другим способом. Действительно, рассмотрим элемент тока на одном из контуров, порождающих поле. Пусть ds - этот элемент; г - сила тока; Р - проекция векторного потенциала на направление элемента ds, тогда сумма:

dsP,

взятая по всем элементам тока, представляет собой кинетическую энергию. Если следуя Максвеллу обозначим через и, v, w компоненты тока, то, как доказал Максвелл, будет справедливо следующее равенство:

i JidsP= J{Fu + Gv + Hw)dT. (4)

(См. Электричество и оптика , I, стр. 153.)

Здесь и далее а.Пуанкаре ссылается на свои лекции. В современном изложении данный материал можно найти в любом учебнике университетского курса электричества, например, Сивухин Электричество . - Прим. ред.

Энергия магнитного поля. - Прим. ред.

х, у, z - координаты центра масс элемента объема 9г; ту, - значения , ту, ( в этой точке, а г - расстояние между точками с координатами X, у, Z и х, у, z. Исходя из этого, получим следующие соотношения

также

и, следовательно, для Т получаем следующее выражение:

либо, раскладывая суммы,

jl fd(dF dGm dP; dG dH\ 2 J \ dz dx dy dy dz dx)

1 /, Г (dH dG\ , (dF dH\, (dG dFY]

В настоящих обозначениях компоненты тока имеют вид

± ±

27Г 27Г 27Г

откуда

\jidsP=\j[FlG+H)dr = lJiF + G, HC)dr

Т = J {F + Gr] + HC)dr. (5)

111. Тождество двух выражений для Т доказывается непосредственно. Действительно, справедливо равенство

j{Fi + Gn + HOdr = JY.Fidr = JYpddr-JYFfdr.

Заметим, что dr = dxdydz. Проинтегрируем по частям

JFdxdydz = jFw dxdz- j wdr.

Интеграл берется от -oo до +(X). В бесконечности F w w равны нулю, следовательно, подстановка первого интеграла на границах равна нулю. Таким образом, остается следующее равенство

fFdr = -fwdfdr, J dy J dy

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 103 Используя уравнения (2), получим

112. Взаимодействия элементов тока, заменяющие вихревые трубки. Пусть элемент тока ММ длины ds и силой i расположен в магнитном поле. Пусть МТ - вектор, представляющий магнитную силу в точке М. МС - касательный к ММ и пропорциональный к ids вектор. На элемент ММ, как известно, действует сила, перпендикулярная плоскости МТС и равная площади параллелограмма, построенного из МТ и МС. Пусть dx, dy, dz - проекции ds на три оси, а, /3, J - проекции магнитной силы МТ; i dx, г dy, г dz - проекции вектора МС. Проекции электродинамической силы на оси Ох, Оу и Oz соответственно равны

idz (3 - г dy 7, idxj - г dz а, г dy а - г dx (3.

В рассматриваемом нами случае проекциям i dx, i dy, i dz соответствуют

dr rjdr Cdr

~2 ~2 ~2 a величины a, /3, 7 соответствуют и, v, w. Тогда составляющие электродинамической силы будут

{vC - wrj) = X dr, {w-uO=Ydr, {urj-vO = Zdr,

X = {vC - WT]) ... и t. д.

113. Теорема. Силы (X, Y, Z), представляющие взаимодействия элементов воображаемых токов, которыми мы заменили наши вихревые трубки, должны быть равны и попарно противоположны. Следовательно,

сумма их проекций на некоторую ось равна нулю:

X (ir = О, или {vC - wrj)dr = 0. (6)

Кроме того, сумма их моментов относительно некоторой оси также равна нулю:

Y,{Xy-Yx)dT = 0. (7)