проекцию + тт] + пС, вектора ту, Q на нормаль. Эта проекция является нормальной составляющей вихря. Если окружность достаточно мала, то можно принять ограниченную ей площадь за элемент duj, из чего получим:

J = 27ri(/ + m77 + nC).

Следовательно,

<уо = + + пС, где является нормальной составляющей вихря.

10. Линии тока. Таким образом, в каждой точке имеется два вектора: скорость, которая имеет составляющие и, v, w, и вихрь с компонентами , Г],

Можно рассмотреть линии, для которых касательные вектора в каждой точке совпадают с вектором скорости. Они задаются дифференциальными уравнениями

dx dy dz /-,24

и определяют линии тока. Эти линии не обязательно являются траекториями частиц жидкости. Это верно лишь в случае стационарного течения, при котором скорость в каждой точке постоянна во времени.

11. Вихревые линии. Возможно также рассмотреть линии, которые в каждой точке пространства имеют в качестве касательных вихревые вектора. Их дифференциальные уравнения будут иметь вид

dx dy dz /-, о\

J--J

Это - вихревые линии. Предположим теперь, что скорость не зависит от 2: и параллельна плоскости ху, т. е. = О, а также что производные и V YVO Z равны нулю. Тогда, по определению вихря (11) (п. 9):

= = < = -%

Уравнения вихревых линий имеют вид:

dx d О О С

dx = dy = 0.

В этом случае вихревые линии являются прямыми, параллельными оси Oz.

12. Вихревые поверхности. Вихревой поверхностью называется поверхность, порожденная вихревыми линиями: иначе говоря, это поверхность, касательная плоскость которой в каждой точке проходит через вектор вихря. Условие, выражающее, что поверхность /(ж, у z) = О является вихревой поверхностью, имеет вид

Рассмотрим дугу некоторой кривой АВ (рис. 5), через различные точки этой кривой проведем вихревые линии. Результатом их совокупности будет вихревая поверхность, которая является од-носвязной, если кривая АВ не замкнута.

Проведем на этой поверхности замкнутую кривую с, ограничивающую некоторую площадь а. Интеграл J, взятый вдоль с, равен нулю. Действительно,

(14)

Рис. 5

Jc = J 2du;{l-\-mrj-\-nC).

Но нормальная составляющая вихря + тт] + п( равна нулю для всех элементов duo площади а, принадлежащей вихревой поверхности. Это и приводит к равенству J = 0.

13. Напротив, если поверхность удовлетворяет свойству, что интеграл J, взятый по любой замкнутой кривой, находящейся на этой поверхности, равен нулю, то эта поверхность является вихревой. Действительно,

J = 2du;{l-\-mrj-\-nC).

Для того чтобы этот интеграл равнялся нулю, какой бы ни была площадь а, необходимо, чтобы для всех элементов поверхности

1 -\- тг] -\- пС = О,

то есть чтобы нормальная составляющая вихря была равна нулю. Но это и требуется в определении вихревой поверхности.

14. Предположим, что в момент времени t = О имелось некоторое число частиц, занимающих вихревую поверхность. Оказывается, что в любой момент времени t эти частицы также займут вихревую поверхность.

Действительно, согласно вышесказанному, в начальный момент времени t = О интеграл J равен нулю для занятой этими частицами поверхности. По теореме Гельмгольца J остается постоянным. Таким образом, этот интеграл будет равен нулю в любой другой момент времени, а занятая частицами в этот момент времени поверхность снова будет вихревой.

Пересечение двух вихревых поверхностей является вихревой линией, и, напротив, любая вихревая линия всегда определяет две вихревые поверхности.

Теперь рассмотрим множество частиц жидкости, занимающих в начальный момент времени t = О вихревую линию Со- В момент времени t эта линия принимает некоторое положение С. Я утверждаю, что С также является вихревой линией.

Действительно, пропустим через Со две вихревые поверхности So и о- В момент времени t эти две поверхности переходят в 5 и 5 , образующие при пересечении кривую С. Согласно уже доказанному, S и остаются вихревыми поверхностями, таким образом, пересечение С вновь является вихревой линией.

15. Вихревая трубка. Вихревой трубкой называется поверхность, полученная проведением вихревых линий через различные точки замкнутой кривой (рис. 6). На такой поверхности можно выделить два рода замкнутых кривых.

Кривые С первого рода ограничивают часть площади на поверхности.

Кривые второго рода, такие как DPEQ, разделяют поверхность на две области, ни одна из которых не ограничена только кривой DPEQ.