Здесь г можно считать постоянным для всего объема сегмента, что позволяет записать следующее неравенство:

Интеграл J dr представляет собой сегмент, который равен \dr, где Л - сечение этого сегмента. Таким образом.

adr (TiXdr 2 2

Пусть теперь duo - элемент сечения трубки. Рассмотрим элементарную трубку, порожденную вращением вокруг оси этого элемента. Пусть dX - сечение этой трубки сферой радиуса г.

Разделим эти сферы на две группы:

1° Радиус которых меньше, чем некоторый верхний предел наибольшего диаметра е сечения полной трубки. Возьмем, например, за этот предел 2г;

2° Сферы, радиус которых больше 2г.

Тогда верхний предел скорости принимает вид:

/+/- а )

О 2е

В первом интеграле Л очевидно меньше, чем 47гг, полная поверхность сферы. Итак, приходим к следующему неравенству;

2е 2е

J aiXdr о

взятый по всему объему этого сегмента. Пусть ai - наибольшее значение, которое принимает а в этом сферическом сегменте. Все элементы подынтегрального выражения одного знака, следовательно,

ai dr

что и т.е. \, а (У\е будут иметь порядок \.

Во втором интеграле:

sin в

где в - угол, под которым сфера пересекает трубку (рис. 35); в всегда больше некоторого предела во, отличного от нуля. Действительно, ни одна сфера второй группы не может стать касательной к трубке. Иначе касание находилось бы в меридианном сечении и радиус сферы был бы меньше е. Итак, справедливо неравенство

dX<-l

sin 0

Рис. 35

sm 0

Г aiXdr Г dr

J r J sin во r

2e 2e

Первый множитель конечен, a второй имеет вид

/ = J 1

J 2s a-

Этот интеграл также имеет порядок .

Таким образом, два члена выражения (10) имеют один и тот же порядок i, и сама скорость по величине имеет порядок не более .

Как всегда, положим момент трубки равным конечной величине. Величина aiQ является конечной, и ai имеет тот же порядок величины.

Глава 8

Условия устойчивости установившегося

движения

133. Установившееся движение. Пусть жидкость бесконечна и вихревые трубки параллельны оси Oz. Движение, очевидно, будет установившимся, если С, являются функциями только от расстояния р =

в этом случае вокруг оси Oz существует ряд концентрических слоев, внутри которых вихрь будет иметь постоянное значение.

Пусть М - некоторая точка (рис. 36), скорость этой точки будет направлена перпендикулярно радиус-вектору ОМ, проведенному из центра в эту точку. За время dt точка М переместится в Ml, расположенную на том же расстоянии от точки О. Таким образом, точка М описывает окружность с центром О. Пусть ( - значение вихря в точке М в момент времени f; С, - значение вихря в Ml в момент времени t + dt\ Ci - его Рис. 36 значение в М в момент t + dt.

Я утверждаю, что ( = С-Действительно, частица, которая в момент времени t находилась в точке М, перемещается за время t dt ъ точку Mi, принадлежащую той же трубке. А для одной и той же трубки ( = const. Кроме того, Ci = С.

Действительно, в момент времени t две точки М и Mi находятся на одной и той же окружности с центром в точке О. Согласно предположению, С зависит только от расстояния до точки О.

Следовательно, интенсивность вихря в точке Mi постоянна. Поскольку М - любая точка, этот результат справедлив для любой другой точки, а движение является установившимся.

134. Устойчивость движения. Устойчиво ли установившееся движение?

Иначе говоря, если существует какая-либо причина, по которой эти концентрические слои будут бесконечно мало деформироваться, то