X у О

duj = const,

и V {) О О С

которое в данном случае является ничем иным как уравнением (10) п. 116:

D dr = const.

124. Непосредственное доказательство соотношения jDdT= = -. Вернемся к общему случаю. Посредством электродинамической аналогии мы доказали соотношение (10)

Ddr=.

Это соотношение, как мы сейчас увидим, можно также установить непосредственно.

Для краткости положим:

=-2-

Т = J hdr.

Разложим определитель D по элементам первой строки

Выражения В и С выводятся аналогичным образом из соображений симметрии.

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 111 Рассмотрим интеграл

{Ix + ту + nz)----{lu + mv + nw) {xu yv - zw)

duo.

Аналогично доказательствам, приведенным нами выше уже несколько раз (п. 114), этот интеграл, взятый по всей поверхности сферы с очень большим радиусом, равен нулю. Преобразуем его по уже использованной нами формуле:

X = X-2--и[хи -\- yv -\- zw) = ха - иК,

К = хи -\- yv -\- ZW. Получаем следующие выражения

dx dx dx \ dx dx dx J

dy dy dy V dy dy dy J

d = ,dh + h-<K-w-w(x+yf+z).

dz dz dz \ dz dz dz)

Два последних уравнения находятся по аналогии с первым. Запишем равенство

fydX J dx

dT = 0.

Выполняя суммирование и учитывая уравнение неразрывности, после очевидных сокращений получаем

g = - 2{Ах + By + Cz) = h- 2D,

откуда

j hdr- j 2DdT = 0, J DdT = J hdT = .

{щ - vi)dT = 0. (13)

Для того чтобы определить элемент dr, рассмотрим, например, меридианную плоскость zy, разложим ее на элементы поверхности duo. Каждый из этих элементов при вращении вокруг Oz порождает объем. Если проведем меридианные плоскости под углом dip, то эти плоскости вырежут в объемах части, подобные цилиндрам с сечением duj и высотой pdip. Объем этих частей будет иметь вид

dr = pduj dep.

Уравнение (15) примет вид

67(cos ср + sin (p)pdu;d(p = О

apdcjdcp = 0. (14)

125. Вихревые трубки вращения вокруг Oz. Предположим, что вихревые трубки представляют собой трубки вращения вокруг оси Oz. В этом случае введем полуполярные координаты, полагая

х = рсо8(р, у = psincp, Z - Z.

Согласно сделанному предположению, вихрь в каждой точке перпендикулярен меридиану.

Таким образом, если ст - величина вихря, то:

= sin Г] = acosip, С = О-

В силу симметрии (п. 107), скорость {и, v, w) находится в меридианной плоскости и выполняются соотношения

dp dp . dz

=-COS(p, v=-sin, w=-.

Кроме того, как мы уже видели в п. 108, - постоянная.

Подставим эти значения в наши уравнения: некоторые из них при этом становятся тождественными. Из оставшихся рассмотрим в частности следующее: