по времени градиента деформации равносильно умножению его справа на градиент скорости.

Как и любой тензор второго ранга, тензор L может быть представлен в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:

L = D + R, D = {L + L), R={L-LT), (4.57)

iT = Ё1Ё = V,\jE 0 (4.58)

- транспонирование тензора L, а

D = DjE 0R = R,jE ® Ё (4.59)

называются соответственно тензором скоростей деформаций и спин-тензором. О компонентах Vji, Vij и Uij тензоров L, D я R в прямоугольной декартовой системе координат с базисом ki уже гила речь в лекции 2.

Антисимметричному тензору R естественным образом ставится в соответствие вектор вихря и

введённый в (2.29). Умножая скалярно все части равенства (4.60) на Ё, а затем на VGcnimE 0 Ё, выразим R через uj:

R = yfGenirni& 0 R,j = VGejkK (4.61)

= eRjEk = -j= eV.VjEk = rot v, (4.60)

Проверим, является ли тензор скоростей деформаций D полной производной по времени от тензора Лагранжа 7 или тензора Эйлера э. Производная по времени от компонент тензора деформации даёт компоненты тензора скоростей деформации. Действительно, продифференцируем по времени обе части (4.1) и получим

+ Д VkijE) = -{Vji + Yy) = Д (4.62)

или . .

D = eljEE\ (4.63)

Однако тензор D не является полной производной по времени ни от тензора Лагранжа, ни от тензора Эйлера. В самом деле, из определений (4.11), (4.12) имеем

7 = б.е (g)

(4.64)

э = e\j& ®W + ej{E ® = D + ej{E ® W).

Рассмотрим теперь, как изменится скорость щ некоторой частицы в бесконечно близком от неё окружении. Выберем некоторую точку в таком окружении и разложим вектор скорости v в ней в ряд:

V = щ + gdf + di4e + ... (4.65)

Благодаря (4.54) разложение (4.65) можно представить в виде i7 = Jq + df Vv + df (S)V df+ ... =

= Vo + dr L + dr lY dr + ... (4.66)

В силу предполагаемой малости длины вектора df=dEi сохраним в правой части (4.66) только два первых слагаемых и воспользуемся соотношением (4.57):

iJ=ijQ + drL = vo + drD + dr- R. (4.67)

Введём квадратичную форму Ф относительно компонент вектора df:

ф = Idf. D . = D.jdCdK (4.68)

Очевидно, что

Д=5*- (4.69)

Соотношение (4.69) можно записать в виде

grad Ф = D . (4.70)

Тогда из (4.67) имеем

f =fQ+ gradФ + df Д. (4.71)

Используя (4.61), получим

= VGeijkdE = uxdr. (4.72)

Подставляя (4.72) в (4.71), находим, что

V = щ + и X df+ grad Ф. (4.73)

Формула (4.73) носит название теоремы Коши-Гельмгольца. Она представляет собой обобщение формулы Эйлера для выражения скорости абсолютно твёрдого тела на сплогиную среду, в которой происходит деформирование. Заметим, что формула (4.73) отличается от формулы Эйлера не только наличием градиента функции Ф (4.68), но и тем, что она справедлива только в бесконечно малой окрестности точки, имеющей скорость