Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внимание (17.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений

(f, t) = (f, t) + Pl (f, t), (17.24)

получим уже знакомые уравнения движения сплошной среды (6.58):

f-Eg-P-O, ,Р.Х> ,1.25)

ЛЕКЦИЯ 18 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ

В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соле-ноидальности векторного поля, им даны соответствующие определения (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов div, rot и grad. Докажем теперь важную в векторном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.

Теорема Гельмгольца. Для любого векторного поля и{г) класса в R существуют скалярный 0(f) и векторный Ф{г) потенциалы такие, что

й= grad0 + rot, (18.1)

причём функция Ф является соленоидальной, т.е. div = = 0. Если йО при г I = г ос, то представление (18.1) единственно. Обозначим

в = div и, ф = го1й. (18.2)

Применяя к обеим частям (18.1) оператор div и пользуясь формулой (2.27), получим скалярное уравнение для 0:

А0 = в. (18.3)

Применяя же к обеим частям (18.1) оператор rot и пользуясь соленоидальностью Ф и равенством

rot rot = eijk{rot)jikk = eijkeirnjm,lih =

= {кАш - kmil)mMh = i,ikh - k,iih =

= grad div - A=-A, (18.4) получим векторное уравнение для Ф:

АФ = -ф. (18.5)

Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фундаментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3)

фундаментальным решением 0*(г, ) будет решение уравнения

A0* = 5(f-O, (18.6)

где - фиксированный вектор в R?.

Вид скалярного потенциала (2.49), исследованного в лекции 2, указывает на явный вид решения (18.6):

0*(г,О = -

47ГГ

(18.7)

где под г теперь понимается расстояние между точками г и :

r = /{xi-ii){xi-ii). (18.8)

Тогда единственное решение уравнения Пуассона (18.3) имеет вид

0(г) =

(18.9)

Здесь и далее введено обозначение: dV = d\ didz-

Аналогично выписывается единственное решение для векторного уравнения (18.5):

;i8.io)

Подставим теперь потенциалы (18.9) и (18.10) в (18.1) и с учётом обозначений (18.2) и (18.8) получим

й{г) =

-grad

div )

dV + rot

rot uii)

:i8.ir

Внесём в (18.11) дифференциальные (по переменным х) операторы grad и rot под знак интегралов по переменным , принимая во внимание, что

д /П Xi-i

dxi \ г Окончательно будем иметь

\ 4

div (О

dV,+

rot ) X

;i8.i2)

;i8.i3)

Таким образом, потенциалы в и Ф представлены соотношениями (18.9), (18.10), а выражение (18.1) имеет вид (18.11)