Су =

рсу dV, Ср =

pCpdV. (14.64)

В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин Су

В самом деле, при малых, но конечных величинах V из (14.64) следует: Су = pcyV.

Если А = В = С = О, то (14.55) называется законом сохранения величины padV.

Для первого постулата (6.8) имеем

а= 1, А = Б = С = 0, (14.59)

для второго постулата (6.34)

a = v, A = F, eW=SW, С = 0, (14.60)

для третьего постулата (7.2)

a = rxv, A = rxF, Б=гх5, С = О, (14.61)

для четвёртого постулата (14.44)

а = е, A = pq + PW,j, =-gW, С = О, (14.62)

для пятого постулата (14.50)

Как уже было отмечено, в задачах МСС удобней пользоваться плотностями е, s термодинамических потенциалов Е, S (14.35). Это же относится и к теплоёмкостям Су (12.20) и Ср (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих величин и называть их для сокращённости просто соответствующими теплоёмкостями:

ЛЕКЦИЯ 15 НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учётом неизотермических процессов.

Выпишем дифференциальные следствия известных постулатов. Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрывности (6.10)

+ pdiv=0. (15.1)

Следствием постулата об изменении количества движения являются уравнения движения сплошной среды (6.58)

Р = УгР + рР. (15.2)

при этом согласно постулату об изменении кинетического момента тензор напряжений Коши (6.55)

Р = Ё,Р = РЁ, ® Ej (15.3)

оказывается симметричным.

Дифференциальным следствием первого закона термодинамики (14.48) является уравнение сохранения энергии

p-=pq-diYq + PW,j, (15.4)

а следствием второго закона термодинамики - уравнение притока тепла (14.58)

рТ = pq-dwq + w\ (15.5)

Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под которой будем понимать обратимую среду {w = 0), обладающую шаровым тензором напряжений (9.6):

Pj = -pG, (15.6)

5Л = -dt

PWijdV =

SaUv, (15.7)

Sa- = -dtPWij = dtpGWij = dt p div v =

= -ldp = ppd-. (15.8) P P

Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называются уравнениями движения Эйлера (9.9):

= igradp + F. (15.9)

Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) примет вид

de , р dp /. .

(150)

а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой среды будет следующим:

рТ-= pq-div q. (15.11)

Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внутренняя энергия £ и её плотность е приобретают вид

Е = СуТ + const, ре = рсуТ + const. (15.12)

Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получим

dT , р dp /1 г ION

pc.- = pg-divg+--. (15.13)

В случае несжимаемости {dp/dt = 0), учитывая закон теплопроводности Фурье (14.41) для изотропной среды

Ai=A6ij, д = -ЛГь (15.14) получим из (15.13) уравнение теплопроводности

pcy- = pq + AAT, (15.15) которое с учётом (15.11) можно записать в виде

pT- = pq + AAT. (15.16)

Тогда изменение работы внутренних сил 5Л\ учитывая (15.1), (15.6), можно записать в виде