(3=\

/3=1

д I d{pvi)

;i7.9)

При переходе от первого выражению ко второму (замена двойной суммы одинарной) и от второго выражения к третьему (интегрирование по частям) в цепочке (17.9) мы вновь воспользовались тем, что функция / на границе дТ обращается в нуль.

Итак, из (17.6)-(17.9) следует макроскопическое уравнение неразрывности (6.11):

+ У = 0, (17.10)

многократно встречавшееся ранее.

Умножим теперь все члены скалярного уравнения (17.6) на вектор ppS{f - qp), проинтегрируем по Г и просуммируем по (] от 1 до Л. Первое слагаемое в силу определения макроскопической скорости (17.5) даст следующее:

{г- qp) - {q,p,t) dq dp =

13=1

dt

(17.11)

Преобразуем далее третье слагаемое:

f д

V ppS{r- qp) V ttifPa) dqdp =

/3=1 J a=\P

= Y1 p

I3=\i

= -Y.T.\.-PfPPdqdp. (17.12)

/3=1 i=\ I

Но dpp/dppi = ki, поэтому, продолжая цепочку (17.12), получим

-Y1 (-p)fPpdqdp=-{ppS{r-qp)) = -X{r,t).

Размерность скорости изменения обобщённого импульса р

совпадает с размерностью силы. Поэтому величина X в (17.13) по размерности есть сила, отнесённая к единице объёма. Будем называть X{r,t) макроскопической объёмной силой, действующей в момент t в точке f евклидова пространства.

Второе слагаемое уравнения (17.6) после преобразований, аналогичных (17.9) и (17.12), можно записать следующим образом:

Г д

Pp4r-qp) Y-{fq;,)dqdp =

= ЕЕя:7</зДг - >. (17.14)

[3=\г=\

Представим q в виде суммы v - среднего значения по всем точкам - и некоторых добавок Aq, среднее от которых равно

У qis = v + Aqp. (17.15)

Умножая обе части равенства (17.15) на тр и учитывая (17.4), получим

Рр = mpv + Арр, App = mpAqp. (17.16)

Подставляя (17.15) и (17.16) в (17.14), запишем

Р=\ г=\ г=\ V Р=\ /

г=\ Р=\

dxi dxi

= %-4 = pf, (17.19) dt dt dt

из уравнения Лиувилля (17.6) получим

Заметим, что макроскопическая объёмная сила X{f,t), определённая в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в результате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е.

Х(г, t) = X W (f, t) + Х() (f, t). (17.21)

Предположим, что поле внутреннего взаимодействия Х) потенциально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что

а=\ \ I г=\

где P-\f,t) - потенциальный вектор внутренних напряжений. В статистической механике примером функции U\q) может служить сумма потенциалов Up парного взаимодействия частиц:

Н9) = ЕЕ/37Ы). (17-23)

/5=1 7=1

77/3

где rpj - расстояние между частицами с номерами /? и 7.

где P-\f,t) - кинетический вектор внутренних напряжений в момент t в точке г на площадке с нормалью вдоль оси xi. Его компоненты в декартовом базисе kj\

-ir = -Г = - Е - т)). (17.18)

являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений.

Собирая вместе выкладки (17.11)-(17.14) и (17.17), а также учитывая, что

dt dxi dt dxi dxi