Q\ Q\ Qnp

(13.13)

Q2 Qnp Q2

и поскольку Гпр выбирается произвольно, то, очевидно, справедливо (13.12). Тогда выбирают шкалу, в которой температура имеет независимую размерность 0:

[Г] =0. (13.14)

Поэтому

2гг-2гл-\

2гг-2гл-\

(13.15)

Это означает, что количество тепла Q- - Q\ полностью превратилось в работу, причём никаких других изменений не произошло. Но согласно формулировке 2 второго закона термодинамики это невозможно. Поэтому работа Л* не может быть положительной, а значит в (13.9) Q- Q\- Но из (13.8) сразу следует, что

или (13.4), что и требовалось доказать.

Заметим, что равенство в (13.4) имеет место, если первая машина работает тоже обратимо. Поскольку в рассуждениях не использовались свойства рабочего тела, то к.п.д. зависит только от температуры:

%бр = ??(Г1,Г2). (13.11)

Кельвин установил, что универсальность гуобр можно использовать, чтобы ввести температурную шкалу, не связанную со свойствами рабочего тела. Выражение Q/Q2 тоже является универсальной функцией. Поэтому

где Lp - некоторая функция температуры. Тогда можно ввести промежуточный резервуар при температуре Гпр {Т\ < Тщ < < Г2), который отдавал бы и получал одинаковое количество тепла Qup в двух дополнительных циклах Карно (Гьь Гпр,(5пр) и (Гпр,(5пр; 72,(52)- Так как

Докажем теперь теорему об абсолютной температуре.

Теорема об абсолютной температуре. В соотношении (13.12) можно принять

{Т)=Т. (13.16)

в самом деле, рассмотрим цикл Карно, в котором рабочим телом является совершенный газ (рис. 46).

Этап 12. Изотермическое расширение от V\ до V2. В силу того что для совершенного газа внутренняя энергия имеет вид (12.28), при изотермическом процессе £ = const. Поэтому всё тепло, полученное от резервуара, превратится в работу, и на этом этапе получим

Q2 =

pdV = RoT2\nj. (13.17)

Этап 23. Адиабатическое расширение от V2 ДО V3. Согласно (12.45) на этом этапе будем иметь

Су{Т2-Т,) =

pdV. (13.1i

Из уравнения Пуассона (12.40) получим

T2V- = TiV-\ (13.19)

Этап 34. Изотермическое сжатие от V3 до V4. На этом этапе

pdV = RoTiln. (13.20)

Этап 41. Адиабатическое сжатие от V4 до V\. Согласно уравнению Пуассона (12.40) имеем на данном этапе

TiV- = T2v;-\ (13.21)

Теперь, сравнивая (13.19) и (13.21), получим

Подставляя (13.22) в (13.17) и (13.20), будем иметь

Qi Ti

Q2 Т2

что, собственно говоря, и требовалось доказать.

;i3.22) ;i3.23)

Таким образом, к.п.д. согласно (13.2) записывается в виде

(13.24)

(13.25) (13.26)

Q2 Q2

при ЭТОМ полагается, что

Г> 0.

Итак, из (13.24) и тождества

Q2 = {-v)Q2 + vQ2

видно, что часть теплоты riQ2 превращается в работу а остальная часть {I - rj)Q2 отдаётся холодильнику (тепло-приёмнику). При этом было доказано, что к.п.д. максимален для цикла Карно. Разумеется, можно рассмотреть произвольный

Рис. 47

цикл, но, как видно из рис. 47, он как угодно точно аппроксимируем циклами Карно.

Докажем теперь так называемую лемму о тепле.

Лемма о тепле. Пусть некоторая система совершает циклический процесс С, обмениваясь теплом с резервуарами, имеюшими температуры Ti,Г2,...,Г, а Q\,Q2, - - - Qn, - соответствуюшие количества тепла, которыми система обменивается с резервуарами, причём поглошаемое тепло считается положительным, а отдаваемое отрицательным. Тогда

ТГ Т2 г,

(13.27)

Для доказательства возьмём обратимый процесс кото-

рый составлен из п обратимых процессов Карно, совершающихся