Тогда

dE = -yVj :dpj+TdS, (14.24)

гией E{fi\ , fijn, S) рассмотрим, в частности, следующие потенциалы [38, 39]:

- энтальпия (теплосодержание) Н = H{V\,..., Vm, S):

Н = Е+ Y,2j Itr, (14.15)

- свободная энергия Гельмгольца F = F{p\рт,Г):

F = E-TS; (14.16)

- термодинамический потенциал Гиббса G = G{£i,... ...,m,T):

G = H-TS. (14.17)

Используя формулировки первого (12.5) и второго (14.12) законов термодинамики, можно записать (14.7) в виде

5Л = Y2j--dpj, (14.18)

получим термодинамическое тождество (13.40) в виде

dE = TdS-yVj :dpj. (14.19)

Чтобы перейти от одного термодинамического потенциала к другому, воспользуемся преобразованием Лежандра функции Lp{x\,X2,...) дифференциал которой равен

din = dxi + dX2 + . . . = Xi dxi + 2X2 + ... (14.20)

dxi dx2

Преобразование Лежандра ставит в соответствие функции Lp{x\,X2,...) Другую функцию Ф{Х\,Х2,...) такую, что

Ф = (р- Xixi - Х2Х2 - ... (14.21)

Тогда

dФ = dip - Х\ dx\ - х\ dX\ - Х2 dx2 - Х2 dX2 - ... (14.22) Теперь можно перейти, например, от внутренней энергии Е к энтальпии (14.15), вводя

-Г, = , j = l,...,m. (14.23)

и из (14.19) и (14.15) получим

mm т

dH = dE + J2Ej diij + XI = TdS + iij: dj, j=\ j=\ j=\

(14.25)

откуда

Аналогично для перехода Н G имеем из (14.17) и (14.25):

dG = dH- TdS - SdT = J2liJ dj - SdT, (14.27) откуда

Точно так же для перехода £ F из (14.16) и (14.24) получим

dF = dE- TdS - SdT = dij - SdT, (14.29)

откуда

dF dF

Заметим, что термодинамические параметры pi и их потоки Vj должны задаваться при выборе модели.

Для описания моделей МСС удобнее использовать плотности рассматриваемых термодинамических функций и потенциалов. Чтобы выразиться точнее, запишем ещё раз формулировку первого закона термодинамики в виде (12.51)

dE + dK = дА+ 6Q (14.31)

или в виде (12.5)

dE = -SA +SQ, (14.32)

Запишем далее формулировку второго закона термодинамики в форме (13.39)

TdS = 6Q + Wdt (14.33)

Исключая SQ из (13.32) и (13.33), выпишем термодинамическое тождество, обобщающее (13.43):

dE = TdS- SA - W4t (14.34)

Выражения для dK, 8Л и 8Л известны из соотношений (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные ещё выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики. Назовём плотностью внутренней энергии е, плотностью энтропии S и плотностью рассеивания w величины, определяемые следующим образом:

pedV, S =

psdV, Н* =

wdV.

(14.35)

Чтобы записать выражение для величины 6Q, рассмотрим произвольный конечный объём V тела, ограниченный поверхностью S (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объёма задана массовая плотность тепла q, а на границе объёма на каждом элементе площади действует q{n) нормальная составляющая вектора потока тепла q:

= q-m = g . п. (14.36) Рис. 48

Тогда приток тепла 6Q в объёме V за промежуток времени dt будет равен

SQ = -dt

qU + dt

pqdV,

(14.37)

а в силу (14.36)

SQ = -dt

q-ndTi + dt

pqdV = dt

{pq-diYq)dV. (14.38)

Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняется тем, что нормаль п является внешней, а положительный поверхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объёмом V.

Заметим, что размерности вновь введённых величин таковы:

[e] = L2r-2, [s] = [g] = L2r-3 [дИ] = MTl

(14.39)

Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке объёма V:

(14.40)

рТ= pq-qu + w*.