и нетеплопроводная, то уравнение энергии (6.3) гл. V может быть упрощено. Для идеальной жидкости Гх = -ip, Ху = -]/?, Тг = -кр и

Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид

р-= е -pdivv. (3.1)

§ 4. ЖИДКОСТЬ, ПОДЧИНЯЮЩАЯСЯ ЗАКОНУ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ

Для широкого класса изотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье: количество тепла dq, прошедшее внутрь за время dt через площадку dS с нормалью п, пропорционально df5 dt и производной от температуры по нормали: дт

dq = k-Q dS dt. Для потока тепла tn, введенного ранее, закон Фурье дает

n-k- (4.1)

При выводе уравнения энергии было показано, что п-проекция на нормаль вектора потока тепла t, т. е. tn = {t-n). Производная = (п grad Г). Таким образом, (4.1) равносильно соотношению

t = gradr. (4.2)

Равенства (4.1), (4.2) -запись закона теплопроводности Фурье.

Коэффициент й-коэффициент теплопроводности. Величина k различна для разных жидкостей и зависит в основном от тем-

пературы. Обычно вводят число Рг = -называемое числом

Прандтля, и коэффициент теплопроводности ft выражают через р и Рг. В некоторых случаях число Рг оказывается постоянным. Для многоатомных газов вычисление ft связано со сложными расчетами и экспериментами. Для капельных жидкостей в узких интервалах температур пользуются линейной зависимостью

й = А; + а(Г-Го).

Замечания. 1. В смесях газов гам, где существенна диффузия, вектор потока тепла t начинает зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента концентрации.

2. В неизотропных средах вместо скалярного коэффициента теплопроводности ft приходится вводить тензор теплопроводности К.

§ 5. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ

Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в частице при движении сохраняется. В переменных Эйлера это означает, что

- = 0, или + ..f + .,+..f- = 0. (5.1)

Уравнение неразрывности (2.6) гл. II при условии (5.1) принимает вид

divv = 0. (5.2)

Уравнение (5.2)-уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Для однородной жидкости р = Ро => const и уравнение (5.1) удовлетворяется тождественно. Если жидкость неоднородна, то (5.2) надо рассматривать совместно с (5.1).

Схему несжимаемой жидкости используют при рассмотрении движений капельных жидкостей (если перепады давлений невелики), а также при рассмотрении движений газов с небольшими скоростями. Воздух при скоростях движения и < 100 м/с можно считать несжимаемой жидкостью.

§ 6. СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ

В общем случае плотность является функцией давления и температуры. Уравнение, связывающее плотность р, давление р и температуру Т, носит название уравнения состояния и имеет вид

р = /(р, Г) или Ф(/7, р, Г) = 0. (6.1)

Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния - уравнение Клапейрона

pV = RoT, (6.2)

V - объем одного моля газа; - универсальная газовая постоянная. Если т - молекулярный вес, то р = -у- и уравнение Клапейрона записывается в виде

Р = -рГ. (6.3)

Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление р не очень большое и температура Т не слишком низкая. Часто урав-

нение состояния пишут в виде р = pRT, гдеТ? =-- газовая

постоянная. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса

{р+ут){У-Ь)РоТ. (6.4)

Здесь V=-, а а и 6 - коэффициенты, причем коэффициент а

учитывает силы взаимодействия между молекулами, b - собственный объем молекул. Коэффициенты а и Ь зависят от Т.

В общем случае в статистической механике строятся так называемые вириальные разложения

, В(Т) , С(Т) ,

1+-,7- + -Т?-+ (6.5)

где В{Т), С(Г)-второй и третий вириальные коэффициенты. В случае идеальных газов все вириальные коэффициенты обращаются в нуль. Часто вводятся полуэмпирические уравнения состояния.