Пример 1. Рассмотрим равновесие жидкости при отсутствии массовых сил, т. е. F = 0. В этом случае grad р = О (см. (1.7)) и р = const.

П р и м е р , 2. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, при изотермическом равновесии

Отсюда

P~ip, р Зр, Ф(р) m ро Подставляя Р{р) в (5.8) и учитывая, что р, = Ро, получим \n - -Vn-V, р = рое №Если массовые силы-

т Ра и . А- ги

силы тяжести, то V - gz и

рт (г-го) Я

р = Рое

Давление убывает с высотой как ехр(-Cz).

§ 6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений равновесия имеет вид (1.7) -(1.9). Так как поле массовых сил консервативно, т. е.

F = -gradF, (6.1)

то система уравнений равновесия с учетом (6.1) примет вид

-р t=-p4. -pZ (6-2)

p-f{p,T), (6.4)

k=k(p,T). (6.5)

Необходимое условие для равновесия выполнено - силы консервативны. Можно ожидать, что задача имеет решение. Из уравнений (6.2) следует, что dp = -pdV, т. е.

9=-. (6.6)

4* 99

Используем результаты, изложенные в § 2, положив в приведенных там формулах В = I. Тогда согласно (2.9)

P = P(V) (6.7)

и в соответствии с (6.6)

P = P(F). (6.8)

Таким образом, давление и плотность есть функции только V. Так как по предположению температура входит в уравнение

состояния (6.4), то =5 0. Решив (6.4) относительно Т и учтя

(6.7) и (6.8), получим, что температура также есть функция только V, т. е,

Г = Г(У). (6.9)

Очевидно, что на поверхностях равного потенциала V = const давление, плотность и температура постоянны.

Решить задачу - значит найти вид зависимостей р, р, Т от V. Рассмотрим уравнение (6.3). Из (6.5) в силу (6.7) и (6.9) следует, что

k = k{p,T) = k{V). (6.10)

Так как k п Т, входящие в (6.3), есть функции лишь V, то уравнение можно переписать в виде

дх L dV дх ду

д Г,. dT dV]

dV ду ] дг

dV дг

= 0. (6.11)

Раскрывая производные от произведений, получаем

dV дГ)\

, . dT [dV , dV , дул

dV L dx ~ dy дг Используя обозначения Af и grad/, будем иметь

= 0. (6.12)

(grad V)

(6.13)

Левая часть (6.13)-функция только V, следовательно, и правая часть должна зависеть только от V. Обозначим

(grad 1)

(6.14)

Отсюда следует, что равновесие возможно, если потенциал массовых сил таков, что справедливо (6.14). Поле массовых сил известно, и если (6.14) выполнено, то q{V) - известная функ-

ция. Чтобы установить, для каких потенциалов массовых сил выполнено равенство (6.14), введем вместо q{V) новую функцию R{V) согласно равенству

функция R{V) не может быть выбрана произвольно. Посмотрим, какому условию она должна удовлетворять. Из равенства (6.14) следует

dR (V) Г дУ . дУ дУТ . dR Г/ дУ у ( ду у ( дУ у йУ L дх ду dz \ dyW. дх ) Уду) \dz).

= 0. 6.16)

Уравнение (6.16) есть уравнение Лапласа для R{V):

/?(П + /?(К) + /?(К) = 0. (6.17)

Таким образом, равновесие жидкости в консервативном поле сил возможно, если некоторая функция R{V) является гармонической. Если предположить, что V - именно такой потенциал, то функция R{V) может быть найдена из соотношения (6.15). Имея это в виду, вернемся к уравнению (6.13), которое запишем в виде

dy У dy) R {y) .

dy

Интегрируя один раз уравнение (6.18), имеем

k = C,R(V). (6.19)

Собирая вместе (6.4), (6.6), (6.19), получим систему уравнений равновесия

If = -/(/ П.

dT (6.20)

P = /(p,n.

Таким образом, задача свелась к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Интегрируя систему дифференциальных уравнений, получим обшее решение задачи о равновесии жидкости в консервативном поле сил

/7=/7(F, CbCj, Сз),

r = r(F, ССг, Сз). (-

9 = !{р,Т).

Для определения произвольных постоянных С\, Сг, Сз должны быть заданы условия. Условия могут быть различными;