Для дальнейшего уточнения решения нужно по существу повторять ту же процедуру, которая позволила перейти от нулевого приближения к первому.

Так, для получения второго приближения надо найденное л:( (9) подставить в (16.1), в результате чего найдем

= 1. (- (е)). 9<;.<9<9п. + 2.,

л

где 9 и 0<}* определены в (16.17) с учетом (16.18). Имея (16.20), можно провести вычисления, аналогичные проделанным при получении первого приближения, и найти второе приближение z = /2)() Подобным же образом могут быть определены третье и последующие приближения.

Для метода Нужина доказана сходимость, т. е. доказано, что

lim й< > == k, lim а = а, lim 6< > = Ь .

т~>оо т->оо т->-оо

Обычно делают от двух до пяти приближений в зависимости от требуемой точности. Наиболее трудоемкими процедурами являются вычисление коэффициентов Фурье (вычисление квадратур) и решение серии трансцендентных уравнений для отыскания 05 (/гС ), 0л(/г< ) и к Ч

Расчеты показывают, что наибольшие ошибки получаются около задней кромки и около носика профиля. Решение может быть несколько упрощено за счет хорошего выбора нулевого приближения. Можно модифицировать метод Нужина, взяв за нулевое приближение не пластинку, а теоретический профиль, например обобщенный профиль Жуковского, близкий к исходному профилю в носке и задней кромке.

Мы получили приближенно отображающую функцию z = = f{t,) в виде ряда. Однако для решения задач обтекания нужна обратная функция ==/=(г). Обращение функции z = f{l) может оказаться затруднительным (особенно вблизи профиля). Можно отказаться от построения F{z) и w(z) и использовать функцию Wil):

W(t,) = kvl + - + nl. (16.21)

Присоединив к (16.21) найденную функцию

г = /(а (16.22)

можем исследовать решение задачи в параметрическом виде, используя сразу (16.21) и (16.22). Обычно важно знать скорости

Имея (16.21) и (16.22), можем вычислить скорость

- dW dl dW 1 dl dz ~ dl dz

Решение получим в виде

v = v{l), 2==2(?).

§ 17. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ

ЖИДКОСТИ

Ранее говорилось о том, что для безви.хревььх течений существует потенциал скорости ф, а для несжимаемой жидкости - функция тока ф. Из определения этих функций следуют условия Коши - Римана

(9ф дф

дх ду

d(f

(17.1)

ду дх

которые в свою очередь эквивалентны уравнениям

+ -0: (17.2)

4 + 0=0. 07.3)

Таким образом, возможны три формулировки задачи - об отыскании потенциала ф (для этой функции справедливо уравнение (17.2)); об отыскании функции тока ф (из уравнения (17.3)); об отыскании комплексного потенциала w{z) (она была с(ормулирована и решена для обтекания ряда контуров в настоящей главе).

Все три задачи эквивалентны друг другу. Например, если известна функция ф, то с точностью до константы можно найти

и, следовательно, w(z) = -\-iyp. Но формулировки задач различны.

Пусть решается задача для ф. Имеем уравнение (17.2), условия на бесконечности

условия на поверхности обтекаемого тела

д<о дф

и условие конечности производных -ЩJ в острой кромке. Для ф мы и.меем внешнюю задачу Неймана,

Если решается задача для ф, имеем уравнение (17.3), условия на бесконечности

условия на обтекаемом контуре (может быть, С = 0) и конечность

(17.6) (17.7)

в острой кромке.

дх ду

Для г} имеем внешнюю задачу Дирихле.

Ту же плоскую задачу можно формулировать как задачу об отыскании w{z), исходя из того, что Re да (г) =ф или Что 1тш (2) = гр: найти комплексную функцию w{z) такую, что ее действительная часть удовлетворяет всем граничным условиям для ф, найти w{z) такую, что ее мнимая часть удовлетворяет граничным условиям для -ф.