Соответственно

(5.4)

dvx dx dVy dy dvz дг

§ 6. ТРАЕКТОРИИ, ЛИНИИ ТОКА, КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ

Траекторией частицы (точки сплошной среды) называется геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит во времени.

Если движение задано в переменных Лагранжа, то известны функции

х=-х{а, Ь, с, t), у = у{а, b, с, t), z = г{а, Ь, с, t). (6.1)

Уравнения (6.1) есть параметрические уравнения траектории той жидкой частицы, положение которой в момент t - to определялось параметрами а, Ь, с.

Если задача решена- в переменных Эйлера, то известны Vx {х, у, Z, t), Vy {х, у, Z, t), Vz {х, у, Z, t). Если X, у, z - координаты точки на траектории, то

~=Vx{x,y,z,t), =Vy(x, у, z,t), = Vz{x,y,z,t). (6.2)

уравнение траектории следует искать как решение системы дифференциальных уравнений (6.2). Чтобы найти траекторию частицы, которая при t = to имела бы координаты

x\t,==Xo, y\t=-yo, z\i = Zo, (6.3)

надо решить задачу Коши для системы (6.2) с начальными данными (6.3).

Линией тока называется линия, которая для данного момента времени t обладает следующим свойством: вектор скорости V, вычисленный в любой точке этой линии, направлен по касательной к ней. Фиксируем момент времени t. Пусть dr - бесконечно малый элемент линии тока с проекциями dx, dy, dz, а v{x,y,z,t)-вектор скорости. Тогда по определению вектор dr коллинеарен вектору v. Условие коллинеарности dr и v в проекциях записывается в виде

= = (6.4)

Vx Vy Vz

Система (6.4)-система дифференциальных уравнений линий тока; время t здесь является фиксированным параметром. Обозначая общее значение величины дробей через ds

(s -вспомогательная переменная), перепишем систему уравнений (6.4) в виде

rfr==* -i-y ir -- (®-5>

Здесь s - независимая переменная, t - параметр.

В переменных Эйлера скорости Vx, Vy, Vz - известные функции X, у, Z, t. Чтобы найти линию тока, которая проходит через точку д;о, Уо, го, надо решить задачу Коши для системы (6.5) с начальными данными

*U5, = *o, и. = г/о, г, , = го. (6.6)

В переменных Лагранжа а, Ь, с, t функции (6.1) известны Скорости Vx, Vy, Vz находятся согласно (5.3). Различным точкам линии тока, положение которых определяется параметром S, соответствуют различные значения а, Ь, с (различные частицы) . Координаты точек х, у, г линии тока оказываются сложными функциями S. Находя выражения для 4г Ж

фиксированном / и приравнивая их, согласно (6.5), выражениям для скоростей, получаем систему уравнений

дх da

да ds

ду da

да ds

dz da

да ds

+ + +

Система (6.7) может быть разрешена относительно производных If- 57 в силу условия (2.4). Решая задачу Коши, находим функции

a = a(s), b = b(s), c = c(s). (6.8)

Подставляя (6.8) в (6.1), получаем параметрические уравнения линий тока в зависимости от s при фиксированном значении t.

Для установившихся течений скорости не зависят от времени, время t не будет входить явно в правые части уравнений (6.2) для траекторий и уравнений (6.5) для линий тока. А тогда обе системы уравнений совпадают. Так как траектории и линии тока находятся в результате решения одной и той же задачи Коши, то в установившихся течениях они совпадают. Вспомогательный параметр s. который мы ввели, в этом случае имеет смысл времени движения t.

Для неустановившихся движений в общем случае линии тока и траектории не совпадают.

Поверхность тока - поверхность для фиксированного момента времени, в каждой точке которой вектор скорости лежит в касательной плоскости. Пусть п - единичный вектор нормали

к поверхности, v - вектор скорости. Тогда по определению vn = О, или

Vx cos (п, х) + Vy cos {п, у) + Иг COS {п, z) = 0. (6.9)

Пусть уравнение поверхности тока

{х, у, Z, t) = 0. (6.10)

Направляющие косинусы нормали пропорциональны производ-

НЫМ ~gjj~ - вектор п параллелен вектору grad.

Из уравнения (6.9) тогда следует, что

+ V-57 + .- = 0- (6-И)

уравнение (6.11) - линейное уравнение в частных производных первого порядка для отыскания функции &{x,y,z,t), где t~ параметр. Характеристики уравнення (6.11) удовлетворяют системе уравнений

= = . (6.12)

Уравнения (6.12) совпадают с уравнениями (6.4) для линий тока, т. е. характеристики уравнения (6.11) являются линиями тока. Для уравнения (6.11) обычно ставят задачу Коши: отыскать поверхность тока, которая проходит через заданную кривую /. Эта задача п.меет смысл, если кривая / не является характеристикой. Геометрически поверхность тока обычно строится следующим образом: берут кривую, не являющуюся линией тока, и через точки этой линии проводят линии тока.

Критическая точка - точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно

Vx=Vy=Vz = 0. (6.13)

Рассмотрим систему уравнений (6.4) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования и единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в пей мол<ет нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько н даже бесконечно много линий тока.

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕНЗОРАХ

Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное пространство с декартовыми координатами хи х, xz с ортами и, i2, 1з. Все результаты этого параграфа легко обобщаются на случай евклидова прострапства любого числа измерений.