Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60  61  62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

ставляя полученную формулу в выражение (6.40) для Пр, получим функционал Рейсснера П:

aD М (vol)-Ч-К,

(6.81)

где через DA обозначены производные от перемещений в формулах (4.7) для деформаций. Видно, что если независимо выбраны как поле пере.мещений, так и соответствующее поле напряжений, то в поверхностный интеграл V входят как заданные граничные усилия, так и заданные граничные перемещения, т. е.

V=-l T-udS-5 T-(u -u)dS,

(6.82)

где 5 - участок границы, на котором заданы перемещения и.

Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных невязок.

Дискретизируя выписанные соотношения, чтобы использовать их при анализе методом конечных элементов, рассмотрим ниже только те поля, которые выражаются в терминах физических степеней свободы. Так, записывая в дискретной форме выражения для 0, 8, Т и U и учитывая (6.71), (5.6с), (6.56) и (6.17), находим, что

Пн = L F/ J[Й, J {А}-Ц [QiJ {Р/}- L Л J {РЦ. L F/ J {А/К

(6.81а)

J[Zf [D]d(vol)]-rj[L]4n f [Zr[E]-4Z]d(vol) {F} = i S [Vy-ldSl {A/[ = j[Krud5\.

(6.83a) (6.83b) (6.83c) (6.83d)

a IZI, [Dl, [Lj и [Y\ - соответственно матрицы связи между напряжениями и узловыми силами, деформациями и узловыми пере-



мещениями, граничными усилиями и узловыми силами, граничными перемещениями и узловыми перемещениями.

Варьируя выражение для в виде (6.81а) как по {F/}, так и по {А}, получим следующую смешанную матрицу связи между силами и перемещениями:

И 12

L 1. о

(6.84)

Матрица этого же вида была ранее выписана в разд. 2.3, и аналогичное представление встречалось уже в (5.47).

6.8.2. Пример

Для примера рассмотрим еще раз простой изгибаемый элемент, который изображен на рис. 6.15. Применяя указанный подход к элементу, полностью окруженному элементами того же типа.

Рис. 6.15.

предполагаем, что выбранное поле перемещений позволяет удовлетворить соответствующим условиям непрерывности на границе элемента. Поэтому в (6.82) разность и - и равна нулю в подынтегральном выражении для интеграла по поверхности Su, откуда следует, что поверхностные интегралы в [Qij] и {А} равны нулю для дискретной формы записи функционала (см. (6.83а) и (6.83d)).

Для балочного элемента поле напряжений а есть момент Ш, поле перемещений А - поперечные перемещения w, а поле деформаций - кривизна w . В нашем случае интеграл по поверхности 5ст представляет собой сумму дискретных величин Fii+f 32+ +Л1,91+Мг92. Поэтому функционал Рейсснера можно записать как

П = J mw dx-dx-(F,w, + F,Wi + MA + MA).

Выражение для кривизны было определено ранее. Из (5.15) имеем tt =LN J{A}, где

LN-J L3(2?-l):-3(2i-l)-L(3i-2);-L(3g-l)J.



Поле моментов описывается линейной функцией:

=L(.-i)ij{;;}.

Подставляя указанное выражение в П, получим

Проводя указанное интегрирование и варьируя IIr по М, М а, Wi, W2, 9i и 9а, имеем

2 1 1 2

<

- 1 1 -L О 1-1 О L

Выписанная система уравнений может быть непосредственно использована при построении глобальной системы уравнений, включающих в качестве неизвестных как обе силовые характеристики (Ml, Ma), так и перемещения [wi, W2, Qi, Q2). В этом частном случае можно с помощью уравнения для элемента получить известную матрицу жесткости для этого элемента. С этой целью решаем вначале уравнения, записанные в верхней части полной системы:

{д; = -[Йп]-ЧЙ1.]{М.

и подставляем полученные выражения в уравнения, записанные в нижней части

F2 Ml

Можно проверить, что [к]=-[QiaJ [Qui ЧЯц] - матрица жесткости для балочного элемента.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60  61  62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!