ставляя полученную формулу в выражение (6.40) для Пр, получим функционал Рейсснера П:

aD М (vol)-Ч-К,

(6.81)

где через DA обозначены производные от перемещений в формулах (4.7) для деформаций. Видно, что если независимо выбраны как поле пере.мещений, так и соответствующее поле напряжений, то в поверхностный интеграл V входят как заданные граничные усилия, так и заданные граничные перемещения, т. е.

V=-l T-udS-5 T-(u -u)dS,

(6.82)

где 5 - участок границы, на котором заданы перемещения и.

Варьируя выражение (6.81) и интегрируя его по частям, можно показать, что уравнения Эйлера для функционала представляют собой уравнения равновесия (4.3) и дифференциальные соотношения, связывающие напряжения с перемещениями, т. е. уравнения, получаемые подстановкой соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) в уравнения состояния (4.15). Обратное утверждение было доказано в разд. 5.5 методом взвешенных невязок.

Дискретизируя выписанные соотношения, чтобы использовать их при анализе методом конечных элементов, рассмотрим ниже только те поля, которые выражаются в терминах физических степеней свободы. Так, записывая в дискретной форме выражения для 0, 8, Т и U и учитывая (6.71), (5.6с), (6.56) и (6.17), находим, что

Пн = L F/ J[Й, J {А}-Ц [QiJ {Р/}- L Л J {РЦ. L F/ J {А/К

(6.81а)

J[Zf [D]d(vol)]-rj[L]4n f [Zr[E]-4Z]d(vol) {F} = i S [Vy-ldSl {A/[ = j[Krud5\.

(6.83a) (6.83b) (6.83c) (6.83d)

a IZI, [Dl, [Lj и [Y\ - соответственно матрицы связи между напряжениями и узловыми силами, деформациями и узловыми пере-

мещениями, граничными усилиями и узловыми силами, граничными перемещениями и узловыми перемещениями.

Варьируя выражение для в виде (6.81а) как по {F/}, так и по {А}, получим следующую смешанную матрицу связи между силами и перемещениями:

И 12

L 1. о

(6.84)

Матрица этого же вида была ранее выписана в разд. 2.3, и аналогичное представление встречалось уже в (5.47).

6.8.2. Пример

Для примера рассмотрим еще раз простой изгибаемый элемент, который изображен на рис. 6.15. Применяя указанный подход к элементу, полностью окруженному элементами того же типа.

Рис. 6.15.

предполагаем, что выбранное поле перемещений позволяет удовлетворить соответствующим условиям непрерывности на границе элемента. Поэтому в (6.82) разность и - и равна нулю в подынтегральном выражении для интеграла по поверхности Su, откуда следует, что поверхностные интегралы в [Qij] и {А} равны нулю для дискретной формы записи функционала (см. (6.83а) и (6.83d)).

Для балочного элемента поле напряжений а есть момент Ш, поле перемещений А - поперечные перемещения w, а поле деформаций - кривизна w . В нашем случае интеграл по поверхности 5ст представляет собой сумму дискретных величин Fii+f 32+ +Л1,91+Мг92. Поэтому функционал Рейсснера можно записать как

П = J mw dx-dx-(F,w, + F,Wi + MA + MA).

Выражение для кривизны было определено ранее. Из (5.15) имеем tt =LN J{A}, где

LN-J L3(2?-l):-3(2i-l)-L(3i-2);-L(3g-l)J.

Поле моментов описывается линейной функцией:

=L(.-i)ij{;;}.

Подставляя указанное выражение в П, получим

Проводя указанное интегрирование и варьируя IIr по М, М а, Wi, W2, 9i и 9а, имеем

2 1 1 2

- 1 1 -L О 1-1 О L

Выписанная система уравнений может быть непосредственно использована при построении глобальной системы уравнений, включающих в качестве неизвестных как обе силовые характеристики (Ml, Ma), так и перемещения [wi, W2, Qi, Q2). В этом частном случае можно с помощью уравнения для элемента получить известную матрицу жесткости для этого элемента. С этой целью решаем вначале уравнения, записанные в верхней части полной системы:

{д; = -[Йп]-ЧЙ1.]{М.

и подставляем полученные выражения в уравнения, записанные в нижней части

F2 Ml

Можно проверить, что [к]=-[QiaJ [Qui ЧЯц] - матрица жесткости для балочного элемента.